代码

整个代码由两个函数组成。第一个函数为simulateCLT(n, m, method, df)， 其中n为样本大小，m为模拟次数，method为采用的方法，取值为uniform或student，df为t分布的自由度（均匀分布该参数不起作用，且默认为5）。该函数用来产生中心极限定理的左端项，即

Tx=Sn−nanσ
第二个函数simulatePlot(fix, method)用来绘制N(0,1)的密度函数曲线（红色）与m次模拟的Tx的密度曲线（黑色），根据两条曲线的相近程度来判断中心极限定理中左端项近似为N(0,1)的程度，其中fix取值为n（固定样本大小）或m（固定模拟次数），method的取值同第一个函数。

simulateCLT <- function(n, m, method = "student", df = 5){
  # n is the number of sample size
  # m is the number of simulation 
  # method is the distribution of sample
  if (method == "uniform")
    x = sapply(1:m, function(x) runif(n, -1, 1))
  else if (method == "student")
    x = sapply(1:m, function(x) rt(n, df))
  else
    stop(gettextf("method = '%s' is not supported. Using 'uniform' or 'student'", method))
  x = as.data.frame(x)
  Tx = sapply(x, function(y) sum(y)/sqrt(n*var(y)))
  Tx = as.numeric(Tx) # from row to col
  Tx = as.data.frame(Tx)
  return(Tx)
}
simulatePlot <- function(fix = 'n', method = 'student'){
  if (!(fix %in% c('n', 'm')))
    stop(gettextf("fix = '%s' is not supported. Using 'n' or 'm'", fix))
  
  if (!(method %in% c('student','uniform')))
    stop(gettextf("method = '%s' is not supported. Using 'uniform' or 'student'", method))
    
  library(ggplot2)
  library(cowplot)
  plots = NULL
  iters = c(50,100,500,1000)
  for (i in c(1:4))
  {
    m = iters[i]
    if (fix == 'n')
      if (method == 'uniform')
        Tx = simulateCLT(500, m, method = 'uniform')
      else
        Tx = simulateCLT(500, m, method = 'student')  
    else 
      if (method == 'uniform')
        Tx = simulateCLT(m, 500, method = 'uniform')
      else
        Tx = simulateCLT(m, 500, method = 'student')  
    
    plots[[i]] = ggplot(data.frame(Tx),aes(Tx)) + 
                    geom_density() + 
                    stat_function(fun=dnorm, color="red", args=list(mean=0, sd=1)) + 
                    xlim(-4, 4)
    if (fix == 'n')
      plots[[i]] = plots[[i]] + ggtitle(paste0("m=",m))
    else
      plots[[i]] = plots[[i]] + ggtitle(paste0("n=",m))
                    
  }
  plot_grid(plotlist = plots)
}

t分布（固定样本大小）

simulatePlot(fix = 'n', method = 'student')
## 
## Attaching package: 'cowplot'
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     ggsave

由图可知，对于t分布，在固定模拟次数时，随着样本大小的增大，两条密度曲线越来越接近，故中心极限定理的左端项越来越近似为N(0,1)。

t分布（固定模拟次数）

simulatePlot(fix = 'm', method = 'student')

由图可知，对于t分布，在固定样本大小时，随着模拟次数的增大，两条密度曲线越来越接近，故中心极限定理的左端项越来越近似为N(0,1)。

均匀分布（固定样本大小）

simulatePlot(fix = 'n', method = 'uniform')

由图可知，对于均匀分布，在固定模拟次数时，随着样本大小的增大，两条密度曲线越来越接近，故中心极限定理的左端项越来越近似为N(0,1)。

均匀分布（固定模拟次数）

simulatePlot(fix = 'm', method = 'uniform')

由图可知，对于均匀分布，在固定样本大小时，随着模拟次数的增大，两条密度曲线越来越接近，故中心极限定理的左端项越来越近似为N(0,1)。

总结

对于t分布和均匀分布，在增大样本大小或者增大模拟次数，都会使得中心极限定理的左端项更近似为N(0,1)。